Tìm m để hàm số :
a) \(y=x^3+\left(m+3\right)x^2+mx-2\) đạt cực tiểu tại \(x=1\)
b) \(y=-\dfrac{1}{3}\left(m^2+6m\right)x^3-2mx^2+3x+1\) đạt cực đại \(x=-1\)
Tìm m để hàm số :
a) \(y=x^3+\left(m+3\right)x^2+mx-2\) đạt cực tiểu tại \(x=1\)
b) \(y=-\dfrac{1}{3}\left(m^2+6m\right)x^3-2mx^2+3x+1\) đạt cực đại \(x=-1\)
Câu 1 : Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y=mx^3-2mx^2+\left(m-2\right)x+1\) không có cực trị
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=\left(m-1\right)x^4-2\left(m-3\right)x^2+1\) không có cực đại
Câu 1: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
y= \(\dfrac{1}{3}x^3-mx^{2^{ }}+\left(m^2-4\right)x+3\) tại x=3
Câu 2:Tìm m để hàm số \(y=x^3-2mx^2+mx+1\) đạt cực tiểu tại x=1
Câu 5: Có bao nhiêu số thực m để hàm số \(y=\dfrac{1}{3}x^3-mx^2+\left(m^2-m+1\right)x+1\) đạt cực đại tại x=1
tìm m để y=\(\dfrac{1}{3}x^3+\left(m^2-1\right)x^2+\left(2m-3\right)x+2\) đạt cực đại tại x=2
b) tìm m để y=\(\dfrac{1}{3}x^3+mx^2+3x+1\) đạt cực đại tại x=-3
a.
\(y'=x^2+2\left(m^2-1\right)x+2m-3\)
\(y''=2x+2\left(m^2-1\right)\)
Hàm đạt cực đại tại \(x=2\) khi: \(\left\{{}\begin{matrix}y'\left(2\right)=0\\y''\left(2\right)< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4+4\left(m^2-1\right)+2m-3=0\\4+2\left(m^2-1\right)< 0\end{matrix}\right.\)
Do \(2m^2+2>0\) ;\(\forall m\) nên ko tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài
b.
\(y'=x^2+2mx+3\)
\(y''=2x+2m\)
Hàm đạt cực đại tại \(x=-3\) khi: \(\left\{{}\begin{matrix}9-6m+3=0\\-6+2m< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2\\m< 3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m=2\)
1.y=\(\dfrac{1}{3}x^3-2mx^2+3x+1\) tìm m để hs có cực đại, cực tiểu
2. y=\(x^3-mx^2+\left(m^2-6\right)x+1\) tìm m để hs đạt cực trị tại x=1, khi đó hs là điểm cực đại hay cực tiểu
Cho hàm số y=f(x)=\(\left\{{}\begin{matrix}2x^3-3\left(m+1\right)x^2+6mx-2\left(x< =3\right)\\nx+46\left(x>3\right)\end{matrix}\right.\)
trong đó m,n thuộc R. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=f(x) có đúng ba điểm cực trị
- Với \(x< 3\Rightarrow f'\left(x\right)=6x^2-6\left(m+1\right)x+6m=6\left(x-1\right)\left(x-m\right)\)
\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow6\left(x-1\right)\left(x-m\right)=0\left(1\right)\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=m\end{matrix}\right.\) có tối đa 2 cực trị khi \(x< 3\)
- Với \(x>3\Rightarrow f'\left(x\right)=n\) là hằng số \(\Rightarrow f\left(x\right)\) ko có cực trị khi \(x>3\)
\(\Rightarrow\) Hàm có đúng 3 điểm cực trị khi và chỉ khi nó đồng thời thỏa mãn:
ĐK1: \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm pb khi \(x< 3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 3\\m\ne1\end{matrix}\right.\)
ĐK2: \(x=3\) là 1 cực trị của hàm số
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) liên tục tại \(x=3\) đồng thời đạo hàm đổi dấu khi đi qua \(x=3\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow3^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow3^-}f\left(x\right)\Leftrightarrow3n+46=25-9m\Rightarrow n=-3m-7\) (2)
Mặt khác do 2 nghiệm của (1) đều nhỏ hơn 3 \(\Rightarrow\) tại lân cận trái của \(x=3\) đạo hàm luôn có dấu dương
\(\Rightarrow\) Để đạo hàm đổi dấu khi đi qua \(x=3\) thì \(f'\left(3^+\right)=n< 0\)
Thế vào (2) \(\Rightarrow-3m-7< 0\Rightarrow m>-\dfrac{7}{3}\)
\(\Rightarrow-\dfrac{7}{3}< m< 3\Rightarrow\sum m=0\)
tìm m để đồ thị hàm số \(\left(C_m\right):y=x^3-3mx^2+3\left(m^2-1\right)x-m^3+m\) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số O bằng √2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến O ( O là gốc tọa độ )
Lời giải:
$y'=3x^2-6mx+3(m^2-1)=0$
$\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-1=0$
$\Leftrightarrow x=m+1$ hoặc $x=m-1$
Với $x=m+1$ thì $y=-2m-2$. Ta có điểm cực trị $(m+1, -2m-2)$
Với $x=m-1$ thì $y=2-2m$. Ta có điểm cực trị $m-1, 2-2m$
$f''(m+1)=6>0$ nên $A(m+1, -2m-2)$ là điểm cực tiểu
$f''(m-1)=-6< 0$ nên $B(m-1,2-2m)$ là điểm cực đại
$BO=\sqrt{2}AO$
$\Leftrightarrow BO^2=2AO^2$
$\Leftrightarrow (m-1)^2+(2-2m)^2=2(m+1)^2+2(-2m-2)^2$
$\Leftrightarrow m=-3\pm 2\sqrt{2}$
tìm m để đồ thị hàm số \(\left(C_m\right):y=x^3-3mx^2+3\left(m^2-1\right)x-m^3+m\) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số O bằng \(\sqrt{2}\) lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến O ( O là gốc tọa độ )
Câu 6. Tìm các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y=\dfrac{1}{3}x^3-mx^2+\left(m^2-4\right)x+3\) đạt cực đại tại x = 3.
A. \(m=1,m=5\)
B. \(m=5\)
C. \(m=1\)
D. \(m=-1\)
Ta có:
\(y'=x^2-2mx+m^2-4\)
\(y''=2x-2m,\forall x\in R\)
Để hàm số \(y=\dfrac{1}{3}x^3-mx^2+\left(m^2-4\right)x+3\) đạt cực đại tại x = 3 thì:
\(\left\{{}\begin{matrix}y'\left(3\right)=0\\y''\left(3\right)< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-6m+5=0\\6-2m< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1,m=5\\m>3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=5\)
=> B.